以前、４の倍数判定法について取り上げたことはありますが、今回は3と11の倍数についてと、なぜそのような公式ができるのかについてお話します。
やっぱり一番分かりにくいのは、11の倍数判定法なんですが、皆さんは知っていますか？
奇数番目の位の数の和と、偶数番目の位の数の和の差が11の倍数(0も含む)であれば11の倍数
例えば、71852という数字は
奇数番目の数字の和が7＋8＋2＝17 偶数番目の数字の和が1＋5＝6
この差が17－6＝11で11の倍数だから71852は11の倍数だということです。
この公式は次のように導けます。
例えば、
ＡＢＣＤＥという5桁の整数があったとします。
これはＡ×10000＋Ｂ×1000＋Ｃ×100＋Ｄ×10＋Ｅと表せますね。
この式を変形していくと。
Ａ×10000＋Ｂ×1000＋Ｃ×100＋Ｄ×10＋Ｅ
＝｛(Ａ×9999)＋Ａ｝＋｛(Ｂ×1001)－Ｂ｝＋｛(Ｃ×99)＋Ｃ｝＋｛(Ｄ×11)－Ｄ｝＋Ｅ
＝(Ａ×9999＋Ｂ×1001＋Ｃ×99＋Ｄ×11)＋(Ａ－Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋Ｅ)
＝11×（Ａ×909＋Ｂ×91＋Ｃ×９＋Ｄ×1）＋｛(Ａ＋Ｃ＋Ｅ)－(Ｂ＋Ｄ)｝
となります。
11×(Ａ×909＋Ｂ×91＋Ｃ×９＋Ｄ×1)はもちろん11の倍数だから
(Ａ＋Ｃ＋Ｅ)－(Ｂ＋Ｄ)が11の倍数かどうかでＡＢＣＤＥという5桁の整数が11の倍数かどうかが決まるわけです。
Ａ＋Ｃ＋Ｅは奇数番目の位の数の和で、Ｂ＋Ｄは偶数番目の位の数の和となっています。
この公式が導かれた根拠が理解できたでしょうか。
これは5桁でなくても同じことがいえます。
3の倍数判定法は、もっと使う機会が多いので覚えている人も多いのではないでしょうか。
「各位の和が3の倍数であれば3の倍数」というものです。
例えば、７１１は７＋１＋１＝９が
3の倍数なので3の倍数になります。
実際７１１＝３×２３７なので確かに３の倍数になっていますね。
この判定法も同様にして導けます。
ＦＧＨという３桁の数があったとするとＦ×100＋Ｇ×10＋Ｈと表せますね。
変形すると
Ｆ×100＋Ｇ×10＋Ｈ＝(Ｆ×99＋Ｆ)＋(Ｇ×9)＋Ｈ＝3×(Ｆ×33＋Ｇ×3)＋(Ｆ＋Ｇ＋Ｈ)
後は同じです。
9の倍数判定法も同じようにできるので自分でやってみてください。
ぜひ参考に。